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解決高中數(shù)學(xué)中解析幾何問(wèn)題的方法。 我們先來(lái)分析一下解析幾何高考命題的走勢(shì)：

（一）題型穩(wěn)定：近年來(lái)，高考解析幾何試題穩(wěn)定在三（兩）道選擇題、一道填空題和一道解答題、會(huì)計(jì)約占總分的20%。

（2）整體平衡，突出重點(diǎn)：直線、圓、圓錐曲線知識(shí)的考試幾乎沒(méi)有遺漏。 通過(guò)知識(shí)的重組，考試既注重全面性，又注重突出重點(diǎn)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識(shí)體系的主干。 知識(shí)，保證高比例，考試時(shí)保持必要的深度。 近年來(lái)，高考新教材中解析幾何內(nèi)容的審查主要集中在以下類型：

①求曲線方程（類型確定、類型未定）；

②直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問(wèn)題（包括切線問(wèn)題）；

③與曲線相關(guān)的最（極）值問(wèn)題；

④ 與曲線相關(guān)的幾何驗(yàn)證（對(duì)稱性或?qū)ふ覍?duì)稱曲線、平行度、垂直度）；

⑤探索曲線方程中幾何量和參數(shù)的數(shù)值特征；

高中數(shù)學(xué)解析幾何解題方法：

（3）構(gòu)想能力和洞察數(shù)學(xué)思想的能力：雖然有些是常見的基礎(chǔ)題型，但如果運(yùn)用數(shù)字和形狀相結(jié)合的思想，就能快速正確地得到答案。

（4）題型新穎，位置不確定：解析幾何試題難度近年來(lái)有所下降。 選擇題和填空題都是易中題，答案題可能不在最終位置。 計(jì)算量減少，思考量增加。 大的。 增加與相關(guān)知識(shí)（如向量、函數(shù)、方程、不等式等）的聯(lián)系，在教材中突出研究性學(xué)習(xí)的能力要求。 增加探索性問(wèn)題的權(quán)重。

近年來(lái)的高考中，直線和圓的考試主要分為兩部分：

(1)用選擇題檢驗(yàn)本章的基本概念和性質(zhì)。 這些題一般不難，但是每年都會(huì)做。 測(cè)試內(nèi)容主要包括以下幾類：

①與本章概念相關(guān)的問(wèn)題（傾斜角、斜率、夾角、間隔、平行與垂直、線性規(guī)劃等）；

② 熟記盲眼解法（包括關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱性和關(guān)于直線的對(duì)稱性）；

③對(duì)于與圓的位置有關(guān)的問(wèn)題，常規(guī)方法是研究圓心到直線的距離。

以及“標(biāo)準(zhǔn)件”類型的其他基本問(wèn)題。

（2）通過(guò)回答問(wèn)題，考察直線和圓錐曲線的位置關(guān)系。 這類題比較全面，難度也比較大。

預(yù)計(jì)未來(lái)一兩年，高考本章考試將保持相對(duì)穩(wěn)定，即題型、題量、難度、重點(diǎn)考試等方面不會(huì)有太大變化內(nèi)容。

相比之下，圓錐曲線的內(nèi)容是平面解析幾何的核心內(nèi)容，因此是高考的重點(diǎn)內(nèi)容。 每年的高考試卷中，一般有2至3道客觀題和一道答案題，難度從簡(jiǎn)單、中到困難不等。 問(wèn)題分為三種類型。 主要考試內(nèi)容是圓錐曲線的概念與性質(zhì)、直線與圓錐的位置關(guān)系等。從近十年的高考題來(lái)看，大致有以下三類：

（1）考察圓錐曲線的概念和性質(zhì)；

(2)求曲線方程，求軌跡；

(3)直線、圓、圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題。

選擇題主要考橢圓和雙曲線，填空題考拋物線，答題題主要考直線和圓錐曲線的位置關(guān)系。 對(duì)于求曲線方程、求軌跡的題，高考一般不會(huì)給出圖表。 ，考驗(yàn)學(xué)生的想象能力和分析問(wèn)題的能力，從而體現(xiàn)解析幾何的基本思想和方法。 圓一般不會(huì)單獨(dú)考，而總是與直線、圓錐曲線相結(jié)合的綜合考題。 等距雙曲線基本上沒(méi)有經(jīng)過(guò)測(cè)試。 坐標(biāo)軸平移或平移簡(jiǎn)化方程一般沒(méi)有解題，大多以選擇題的形式出現(xiàn)。 解析幾何的解題一般都比較困難。 近兩年來(lái)，解析幾何的基本方法——坐標(biāo)法和兩種利用子曲線性質(zhì)的命題傾向應(yīng)該引起我們的關(guān)注。

請(qǐng)注意圓錐曲線的定義在解題中的應(yīng)用，并在解析幾何研究問(wèn)題的背景下注意平面幾何的一些性質(zhì)。 從近兩年的試題來(lái)看，解析幾何題有前移的趨勢(shì)，這就要求考生在基本概念、基本方法、基本技能上下功夫。 參數(shù)方程是研究曲線的輔助工具。 高考題中直線關(guān)于直線對(duì)稱，大多涉及參數(shù)方程與普通方程相互變換、等價(jià)變換的數(shù)學(xué)思維方法。

檢查的重點(diǎn)應(yīng)放在軌跡方程與直線、圓錐曲線的位置關(guān)系上。 往往是通過(guò)直線和二次曲線方程的聯(lián)立和消元，借助吠陀定理和向量橋建立等價(jià)關(guān)系。 試題涉及的知識(shí)點(diǎn)包括求曲線方程題、參數(shù)取值范圍題、最大值題、定值題、過(guò)定點(diǎn)直線題、盲眼題、等等，所以我們必須掌握這些問(wèn)題的基本解決方法。

命題特別注重對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)思維的考驗(yàn)。 解決問(wèn)題時(shí)，需要注意以下問(wèn)題：

1、建立曲線方程時(shí)，看清楚焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上； 注意方程的待定形式和參數(shù)方程的使用。

2、直線的斜率是否存在，斜率為零，注意“D”對(duì)相交問(wèn)題的影響等。

3、命題和結(jié)論的給出方式：判斷標(biāo)題中給出的幾個(gè)問(wèn)題是并列關(guān)系還是遞進(jìn)關(guān)系。 如果前后題各有強(qiáng)化條件，則為并列關(guān)系，不能用前題的結(jié)論。 但試題往往給出遞進(jìn)關(guān)系直線關(guān)于直線對(duì)稱，包括（1）第一題求曲線方程，第二題討論直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，（2）第一題求求偏心率，第二題根據(jù)圓錐曲線的性質(zhì)求曲線方程，（3）探索性題等。解題時(shí)要考慮根據(jù)不同情況采用不同的求解技巧。

4、如果題目條件結(jié)合向量知識(shí)，還應(yīng)該注意向量的給定形式：

(1)直接反映圖形的位置關(guān)系和性質(zhì)，如?=0、=( )、λ，以及通過(guò)三角形“四個(gè)中心”的向量表達(dá)式等；

(2)、=λ：若已知M的坐標(biāo)，則按向量展開； 如果M的坐標(biāo)未知，則使用固定得分點(diǎn)公式來(lái)表示M點(diǎn)的坐標(biāo)。

（3）如果問(wèn)題條件由多個(gè)向量表達(dá)式給出，則考慮它們的圖形特征（數(shù)字和形狀的組合）。

5.考慮圓錐曲線第一定義和第二定義的區(qū)別，并注意圓錐曲線性質(zhì)的應(yīng)用。

6、注重?cái)?shù)字與形狀的結(jié)合，特別注重圖形所體現(xiàn)的平面幾何特性。

7、解析幾何考試的另一個(gè)重點(diǎn)是學(xué)生的基礎(chǔ)計(jì)算能力，因此學(xué)生普遍感覺(jué)解析幾何考試題有困難。 為此，我們有必要在平時(shí)解題變形的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)和積累一些常用的公式變形技巧，如假分?jǐn)?shù)的分離技巧、對(duì)的變換技巧以及運(yùn)用用于構(gòu)造對(duì)稱表達(dá)式的吠陀定理。 構(gòu)造均值不等式的技巧、變形技巧等，以提高解題速度。

8、平面解析幾何和平面向量都具有數(shù)與形相結(jié)合的特點(diǎn)，因此兩者經(jīng)常結(jié)合在一起。 其知識(shí)點(diǎn)交叉點(diǎn)的命題也是高考命題的一大亮點(diǎn)。 直線和圓錐曲線之間的位置關(guān)系這是一個(gè)經(jīng)常出現(xiàn)的新的和持久的研究焦點(diǎn)。 此外，圓錐曲線參數(shù)的取值范圍題、最大值題、定值題、盲目性等綜合題也是高考中常見的題型。 分析幾何題一般需要大量的計(jì)算量，需要一定的技巧，需要“精算”。 近年來(lái)，幾何題的解析難度有所降低，但仍然是綜合題，對(duì)考生的意志力和數(shù)學(xué)影響很大。 見證是一種考驗(yàn)。 是高考題中差異化程度較高的一道題。 它可能會(huì)作為今年高考的最后一道題出現(xiàn)。

例1 已知點(diǎn)A(-1, 0)、B(1, -1)和拋物線，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的移動(dòng)直線l與拋物線C相交于M處， P，直線MB與拋物線C相交于另一點(diǎn)Q，如圖所示。

(1) 若△POM的面積為，求向量 與 之間的夾角。

(2) 嘗試驗(yàn)證直線PQ 總是通過(guò)固定點(diǎn)。

雖然高考題千變?nèi)f化，但只要我們找到一些相應(yīng)的規(guī)律，就可以大膽猜測(cè)高考答題的一些思路和趨勢(shì)，指導(dǎo)我們后續(xù)的復(fù)習(xí)。 我們應(yīng)該以正確的態(tài)度對(duì)待高考。 在大膽猜測(cè)的同時(shí)，我們還應(yīng)該注重進(jìn)一步鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，多做簡(jiǎn)單的綜合練習(xí)，提高解決問(wèn)題的能力。

1、高考復(fù)習(xí)建議：

本章內(nèi)容是高考的重點(diǎn)內(nèi)容。 每年高考試卷中占總成績(jī)的15%左右。 比分一直保持穩(wěn)定。 一般有2-3道客觀題和1道回答題。 選擇題和填空題不僅注重基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，而且具有一定的靈活性和綜合性。 大部分難度問(wèn)題都是中等難度的問(wèn)題。 答題重點(diǎn)考察考生對(duì)基本方法和數(shù)學(xué)思想的理解、掌握和靈活運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)。 ，這是比較困難的，通常用作檢查或最終問(wèn)題。 重點(diǎn)是直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，求曲線方程，以及圓錐曲線的最優(yōu)值。 考查數(shù)與形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論、函數(shù)與方程、邏輯推理等方面的能力，對(duì)思維能力和思維方法的要求比較高。

高中數(shù)學(xué)解析幾何解題方法：

近年來(lái)，流行的解析幾何考試包括以下內(nèi)容：

――求曲線方程或點(diǎn)的軌跡

——求參數(shù)的取值范圍

——評(píng)價(jià)域或最大值

——直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

上述問(wèn)題常常相互交叉。 例如，求軌跡方程時(shí)，必須考慮參數(shù)的范圍，參數(shù)范圍問(wèn)題或最大值問(wèn)題必須與直線和圓錐曲線的關(guān)系結(jié)合起來(lái)。

總結(jié)近年來(lái)的高考題型，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題：

1.重點(diǎn)掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義或性質(zhì)

這是因?yàn)闄E圓、雙曲線和拋物線的定義和性質(zhì)是本章的基礎(chǔ)。 高考的題目都涉及到這些內(nèi)容。 要善于從多角度、多層次不斷鞏固和強(qiáng)化三個(gè)基礎(chǔ)，努力促進(jìn)知識(shí)的深化和升華。 。

2、注意求曲線的方程或者曲線的軌跡

關(guān)于方程或曲線軌跡的題往往是高考題，而且難度較大。 因此，有必要掌握求曲線方程或軌跡的一般方法：定義法、直接法、待定系數(shù)法、代入法（中間法、變量法）、相關(guān)點(diǎn)法等，還應(yīng)注意將其與向量和三角學(xué)等知識(shí)和興趣相結(jié)合。

3、加強(qiáng)直線與圓錐曲線位置關(guān)系的審核

由于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一直是高考熱門話題，此類題往往涉及圓錐曲線與直線的性質(zhì)、線段中點(diǎn)、弦長(zhǎng)、垂直題等基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)。 因此，分析問(wèn)題時(shí)采用數(shù)字和形狀的結(jié)合。 思想和假設(shè)結(jié)合弦長(zhǎng)公式和吠陀定理來(lái)解決問(wèn)題。 這就加強(qiáng)了對(duì)各種數(shù)學(xué)能力的考察。 其中，我們重點(diǎn)關(guān)注“操作層面”，增強(qiáng)抽象操作和變形的能力。 解析幾何的解題思路分析起來(lái)很容易，但往往因?yàn)橛?jì)算不理想而半途而廢。 在學(xué)習(xí)過(guò)程中，要通過(guò)解題找到合理的計(jì)算方案，以及簡(jiǎn)化計(jì)算的基本途徑和方法，親身體驗(yàn)計(jì)算困難的發(fā)生和發(fā)生。 克服困難、增強(qiáng)解決復(fù)雜問(wèn)題信心的完整過(guò)程。

4、注重?cái)?shù)學(xué)思想和方法的總結(jié)和提煉，優(yōu)化解題思路，簡(jiǎn)化解題過(guò)程。

充分運(yùn)用方程式思維。 解析幾何中的大多數(shù)問(wèn)題都以直線和圓錐曲線方程的形式給出。 因此，利用韋達(dá)定理將直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題作為一個(gè)整體來(lái)處理，可以簡(jiǎn)化求解問(wèn)題的計(jì)算復(fù)雜度。

善用函數(shù)思維，掌握坐標(biāo)法。

2.知識(shí)整理

●求曲線方程或點(diǎn)的軌跡

求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問(wèn)題之一。 是高考中的熱門話題和焦點(diǎn)。 歷年高考中出現(xiàn)的次數(shù)較多。 尤其是當(dāng)前高考改革，以測(cè)試學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)為突破口，以考試為重點(diǎn)。 學(xué)生的邏輯思維能力、計(jì)算能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，軌跡方程這個(gè)熱門話題能很好地體現(xiàn)學(xué)生對(duì)這些能力的掌握程度。

以下是一些常用的方法：

(1)直接法：運(yùn)動(dòng)點(diǎn)本身所滿足的幾何條件是某些幾何量的等價(jià)關(guān)系。 我們只需要把這個(gè)關(guān)系“翻譯”成包含x和y的方程，就可以得到曲線軌跡方程。 。

(2)定義方法：動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合某種基本軌跡的定義，根據(jù)定義可以直接得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。

（3）幾何方法：如果想要的軌跡滿足一定的幾何性質(zhì)（如線段垂線、角平分線等性質(zhì)），可以用幾何方法列出幾何公式，然后代入坐標(biāo)使事情變得更容易的要點(diǎn)。

（4）關(guān)聯(lián)點(diǎn)法（代入法）：在有些題中，某個(gè)動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件不能用方程列出，而是該動(dòng)點(diǎn)與另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（稱為關(guān)聯(lián)點(diǎn)）一起移動(dòng)。 如果是相關(guān)點(diǎn)所滿足的條件是顯而易見的。 這時(shí)，我們可以用運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將相關(guān)點(diǎn)代入它們滿足的方程中，就可以得到運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。

(5)參數(shù)化方法：有時(shí)很難獲得運(yùn)動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的幾何條件，并且沒(méi)有明顯的相關(guān)點(diǎn)。 然而，更容易發(fā)現(xiàn)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)往往會(huì)受到另一個(gè)變量（角度、斜率、比率、截距）的影響。 ）等，即移動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）中的x和y隨著另一個(gè)變量的變化而變化。 我們可以將該變量稱為參數(shù)并建立軌跡的參數(shù)方程。 這種方法稱為參數(shù)化方法。 通過(guò)消除參數(shù)，可以得到軌跡的常方程。 選擇參數(shù)時(shí)，應(yīng)特別注意其取值范圍對(duì)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)取值范圍的影響。

(6)求交法：求移動(dòng)點(diǎn)的軌跡時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)需要兩條移動(dòng)曲線相交的軌跡題。 這類問(wèn)題往往是通過(guò)求解一個(gè)方程組得到交點(diǎn)的坐標(biāo)（包括參數(shù)），然后消去參數(shù)得到軌跡方程，這種方法常與參數(shù)化方法一起使用。

●求參數(shù)范圍的問(wèn)題

在解析幾何題中，常常用參數(shù)來(lái)描述點(diǎn)和曲線的運(yùn)動(dòng)和變化。 對(duì)于參數(shù)范圍的討論，需要利用變化與不變量的相互變換，從函數(shù)和變量的角度來(lái)思考，因此需要用函數(shù)和方程的思想為指導(dǎo)，利用已知變量的取值范圍和方程根的條件可以求出參數(shù)。

示例 1. 已知橢圓 C：嘗試確定 m 的范圍，使得對(duì)于直線 l： y = 4x+m 橢圓上有兩個(gè)關(guān)于直線 l 對(duì)稱的不同點(diǎn)。

例2. 已知雙曲線的圓心在原點(diǎn)，右頂點(diǎn)為A(1, 0)，點(diǎn)P、Q在雙曲線的右分支上，距M點(diǎn)的距離(m， 0）到直線AP為1。

(1) 若直線AP的斜率為k，則求實(shí)數(shù)m的取值范圍

(2) 此時(shí)ΔAPQ的中心恰好是M點(diǎn)。求該雙曲線的方程。

●取值范圍和最大值問(wèn)題

關(guān)于解析幾何相關(guān)函數(shù)的取值范圍或者弦長(zhǎng)、面積等的最大最小值的問(wèn)題，是解析幾何和函數(shù)的綜合問(wèn)題，需要以函數(shù)為工具來(lái)處理。

對(duì)于解析幾何中的最優(yōu)值問(wèn)題，目標(biāo)一般是根據(jù)條件列出函數(shù)的關(guān)系表達(dá)式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系的特點(diǎn)，采用參數(shù)法、搭配法、判別法，并使用不等式和三角函數(shù)的性質(zhì)。 使用最大值法求其最大值或最小值。 另外，還可以利用圖形和數(shù)形組合來(lái)尋找最優(yōu)值。

如圖所示，已知拋物線y2=4x的頂點(diǎn)為O，A點(diǎn)坐標(biāo)為(5, 0)，傾斜角為π/4的直線l與線段OA相交（但不是O點(diǎn)或A點(diǎn)），并與拋物線相交于M、N兩點(diǎn)，求△AMN面積最大時(shí)直線的方程，求△AMN面積最大。

●直線與圓錐曲線的關(guān)系問(wèn)題

1、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，可以從代數(shù)角度轉(zhuǎn)化為研究方程組實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)（如果個(gè)數(shù)和形狀可以結(jié)合起來(lái)，那就是更容易利用圖形的幾何特性）。 即在確定直線與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，可以將直線的方程帶入曲線C的方程中，消去y（有時(shí)消去x更方便），得到關(guān)于 x 的一變量方程 ax2 + bx + c = 0。

當(dāng)a=0時(shí)，這是一個(gè)線性方程。 如果方程有解，則l與C相交，此時(shí)只有一個(gè)公共點(diǎn)。 若C是雙曲線，則l平行于雙曲線的漸近線； 如果 C 是拋物線，則 l 平行于拋物線的對(duì)稱軸。 因此，當(dāng)直線、雙曲線和拋物線只有一個(gè)共同點(diǎn)時(shí)，直線、雙曲線和拋物線可以相交或相切。

當(dāng)a≠0時(shí)，如果Δ>0 l與C相交

Δ=0 l 與 C 相切

Δ

2、當(dāng)涉及到圓錐曲線的弦長(zhǎng)時(shí)，一般采用弦長(zhǎng)公式結(jié)合吠陀定理來(lái)求解。

求解和弦中點(diǎn)的常用方法有兩種：一是利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式；二是利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式。 另一種是利用曲線上的端點(diǎn)，坐標(biāo)滿足方程，做差來(lái)構(gòu)造中點(diǎn)坐標(biāo)與斜率的關(guān)系（點(diǎn)差法）

中點(diǎn)弦問(wèn)題是當(dāng)一條直線與圓錐曲線相交時(shí)，得到一條指示弦中點(diǎn)的線。 中點(diǎn)弦題是解析幾何中的一道重點(diǎn)題和熱門題，經(jīng)常出現(xiàn)在高考題中。 求解圓錐曲線 對(duì)于中點(diǎn)弦問(wèn)題，“點(diǎn)差法”是一種有效的方法。 顧名思義，“點(diǎn)差法”就是代表點(diǎn)做差的方法。 步驟可簡(jiǎn)單描述為： ① 設(shè)置字符串兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)； ② 將端點(diǎn)坐標(biāo)代入二次曲線方程并相減； ③求出弦中點(diǎn)坐標(biāo)與直線斜率的關(guān)系，從而求出直線方程； ④ 簡(jiǎn)化

本文試圖討論一道高考題的解答，談一些個(gè)人的看法。

1.高考題

橢圓C：+=1（a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2| =。

(1)求橢圓C的方程；

(2) 若直線l過(guò)圓心M x2 + y2 + 4x - 2y = 0，與橢圓C相交于兩點(diǎn)A、B，則B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，求直線l的方程。

2. 解決問(wèn)題的思路

對(duì)于問(wèn)題(1)的解決方案不再詳細(xì)描述。 答案是：+=1。在此基礎(chǔ)上，我們來(lái)研究問(wèn)題（2）的解答。

1.利用方程組的思想

假設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，已知圓的方程為(x + 2)2 + (y - 1)2 = 5，所以圓心M的坐標(biāo)為( -2, 1), 因此直線l的方程可設(shè)為: y= k(x+ 2)+1。

∴y=k(x+2)+1，+=1。 消去 y 可得

(4 + 9k2)x2 + (36k2 + 18k)x + 36k2 + 36k - 27 = 0。

∵ A, B 關(guān)于 M 點(diǎn)對(duì)稱，

∴=-=-2，解為k=。

∴直線l的方程為：8x - 9y + 25 = 0。

2.運(yùn)用“傳播法”的思想

已知圓的方程為(x+2)2+(y-1)2=5，所以圓心M的坐標(biāo)為(-2, 1)。

假設(shè) A(x1, y1), B(x2, y2)。 根據(jù)題意，x1≠x2且

+ = 1(1)+= 1(2)

從(1)-(2)我們得到

+ = 0(3)

由于A、B關(guān)于M點(diǎn)對(duì)稱，x1 + x2 = -4，y1 + y2 = 2，將(3)代入k1 = =，故直線l的方程為：8x - 9y + 25 = 0。檢查則直線方程與題意相符。

高中數(shù)學(xué)解析幾何解題方法：

3. 熟悉兩個(gè)想法

思路1的操作比較復(fù)雜，尤其是消除求方程的步驟，很多同學(xué)都無(wú)法順利通過(guò)； 思路2的操作比較簡(jiǎn)單，學(xué)生容易掌握。 對(duì)于這兩種想法，都必須分析直線l經(jīng)過(guò)圓心，圓心就是弦的中點(diǎn)。 這些方法通常包含在考試題目中。

四、對(duì)“傳播法”的思考

一、對(duì)“傳播法”使用條件的思考

“傳播法”使用起來(lái)比較簡(jiǎn)單，那么使用“傳播法”需要什么條件呢？

假設(shè)一條直線與曲線 mx2 + ny2 = 1（n、m 為非零常數(shù)且不同時(shí)為負(fù)）相交于 A 和 B 兩點(diǎn)。令 A(x1, x2), B(x2, y2)，則mx12 + ny12 = 1，mx22 + ny22 = 1，兩個(gè)公式相減為：m(x1 - x2)(x1 + x2) = -n(y1 - y2)(y1 + y2)。 其中，x1+x2和y1+y2與線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)； 是AB的斜率。 可見，知道其中之一就可以求出另一個(gè)，也就是說(shuō)：要使用“點(diǎn)差法”，需要知道AB的中點(diǎn)和AB的斜率才可以求出另一個(gè)。 然后進(jìn)行簡(jiǎn)短的檢查。

2. 介紹一種巧妙且獨(dú)特的中點(diǎn)弦問(wèn)題解決方案

例：已知雙曲線x2 - = 1，問(wèn)是否存在一條直線l，使得M(1, 1)為雙曲線與直線l截取的弦AB的中點(diǎn)。 如果存在，求直線l的方程； 如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明原因。

根據(jù)題意，M(1,1)是表觀讀數(shù)B的中點(diǎn)。我們可以假設(shè)A(1+s,1+t),B(1-s,1-t),(s ，t∈T)，由于A、B、M不重疊，可見s和t不全為零。 另外，A點(diǎn)和B點(diǎn)在雙曲線x2-=1上，將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程可得

(1+ s)2-= 1(1)(1- s)2-= 1(2)

(1)+ (2) 可得 s2= t2 (3)

(1)- (2) 可得 t = 2s (4)

將(4)代入(3)可得s=0，t=0，這是不可能的，所以不存在這樣的直線。

這里我們總結(jié)一下解題思路：

已知直線l與圓錐曲線：ax2+by2=1(a,b使方程為圓錐曲線)相交于兩點(diǎn)A、B。設(shè)中點(diǎn)為M(m,n)，求直線l的方程。

解題思路假設(shè)A(m+s,n+t),B(m-s,n-t),(s,t∈T)。 由于A、B、M不重疊，可見s、t不全為零。 且點(diǎn) A 和 B 位于雙曲線 ax2 + by2 = 1 上，將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程可得 a(m + s)2- b(n+ t)2= 1, a(ms)2 - b (n- t )2= 1。求解：ams = bnt，am2 +s2 = bn2 + t2。 （由于這是所有字母順序的操作，表達(dá)式很復(fù)雜，因此我們不會(huì)找出所有表達(dá)式的特定形式，而只是談?wù)撍枷耄┻M(jìn)一步解決了S和T的價(jià)值，以了解A和A的坐標(biāo)。 b，并使用兩點(diǎn)公式找到直線l的方程。

記住數(shù)學(xué)公式和法律。 盡管高中數(shù)學(xué)不需要諸如文學(xué)和歷史之類的死記硬背，但您必須能夠熟練地使用公式和定理。 每個(gè)問(wèn)題都將涉及公式。 如果您不記得公式，如何才能很好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)？