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【專題說(shuō)明】

倍長(zhǎng)中線是指加倍延長(zhǎng)中線，使所延長(zhǎng)部份與中線相等，于是常常還要連結(jié)相應(yīng)的頂點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)邊都對(duì)應(yīng)相等。常適于構(gòu)造全等三角形。中線倍長(zhǎng)法多適于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系（一般用“SAS”證明）（注：通常都是原題早已有中線時(shí)用，不太會(huì)有自己畫中線的時(shí)侯）。

【知識(shí)小結(jié)】

題干中出現(xiàn)三角形一邊的中線（與中點(diǎn)有關(guān)的線段），或中點(diǎn)，一般考慮倍長(zhǎng)中線或類中線，構(gòu)造全等三角形.把該中線延長(zhǎng)一倍，證明三角形全等，以便利用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的辦法.

主要思路：倍長(zhǎng)中線（線段）造全等

方式一：在△ABC中AD是BC邊中線，延長(zhǎng)AD到E與三角形有關(guān)的線段，使DE=AD，連結(jié)BE

方式二：作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延長(zhǎng)線于E連結(jié)BE

方式三：延長(zhǎng)MD到N，使DN=MD，連結(jié)CD

1、如圖，已知在△ABC中，D為AC中點(diǎn)，連結(jié)BD.若AB=10cm,BC=6cm,求中線BD的取值范圍。

解：如圖，延長(zhǎng)BD至E,使BD=DE,連結(jié)CE,

∵D為AC中點(diǎn)

∴AD=DC,

在△ABD和△CED中，

BD=DE,

∠ADB=∠CDE

AD=CD

∴△ABD≌△CED（SAS）

∴EC=AB=10

在△BCE中，CE-BC＜BE＜CE+BC

10-6＜BE＜10+6

∴4＜2BD＜16

∴2＜BD＜8

2、如圖1，已知△ABC中，AD是BC邊上的中線．

3、如圖2，在△ABC中，AD是三角形的中線，點(diǎn)F為AD上一點(diǎn)，且BF=AC，連接并延長(zhǎng)BF交AC于點(diǎn)E，求證：AE=EF．

【答案】詳見(jiàn)解讀

【分析】延長(zhǎng)AD到M，使DM=AD，連結(jié)BM，按照SAS推出△BDM≌△CDA，按照全等三角形的性質(zhì)得出BM=AC，∠CAD=∠M，按照BF=AC可得BF=BM，推出∠BFM=∠M，求出∠AFE=∠EAF即可．

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判斷，等邊三角形的性質(zhì)和判斷的應(yīng)用與三角形有關(guān)的線段，主要考查師生的利用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，關(guān)鍵是能按照“倍長(zhǎng)中線”法做出輔助線來(lái)構(gòu)造全等三角形．

4、如圖，AD為△ABC的中線，∠ADB和∠ADC的平分線分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，求證：BE+CF＞EF.

5、在Rt△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E,F分別為AB，AC上的點(diǎn)，且ED⊥FD,以線段BE,EF,FC為邊能夠構(gòu)成一個(gè)三角形？若能，請(qǐng)判定三角形的形狀？