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1. 數(shù)列 一、選擇題1（2024全國(guó)） 等差數(shù)列前項(xiàng)之和為，若，（）ABC1D2（2024全國(guó)） 等差數(shù)列前項(xiàng)之和為，若，則（）ABC1D2 二、填空題3（2024全國(guó)） 記為等差數(shù)列前n項(xiàng)之和，若，則。 4（2024北京） 已知，不是常數(shù)序列且各項(xiàng)不同。正確答案是。，都是等差數(shù)列，則M中最多有一個(gè)元素；，是等比數(shù)列，則M中最多有三個(gè)元素；是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則M中最多有三個(gè)元素； 單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，則M中至多有一個(gè)元素。5 (2024上海)無(wú)限等比數(shù)列滿足第一項(xiàng)，記住，如果對(duì)于任何一組正整數(shù)都是閉區(qū)間，則的取值范圍為三，回答問(wèn)題6 (2024全國(guó))設(shè)m為正整數(shù)，該序列為等差數(shù)列，其公差不等于0，如果從其中刪去兩個(gè)項(xiàng)，剩余項(xiàng)可以

2.如果把數(shù)列均勻地分成幾組，每組四個(gè)數(shù)能組成一個(gè)等差數(shù)列，這個(gè)數(shù)列叫做可整除數(shù)列。（1）寫(xiě)出所有使數(shù)列成為可整除數(shù)列的數(shù)；（2）當(dāng)，證明該數(shù)列是可整除數(shù)列；（3）每次取任意兩個(gè)數(shù)和，設(shè)該數(shù)列是可整除數(shù)列的概率為，證明：7 (2024全國(guó))給定一條雙曲線，點(diǎn)在上，為常數(shù)，按如下順序構(gòu)造點(diǎn)，畫(huà)一條直線，斜率為并與在點(diǎn)的左分支相交，設(shè)是關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，的坐標(biāo)為。（1）若，求；（2）證明：該數(shù)列是等比數(shù)列，其公比為； (3) 設(shè)是的面積，證明：對(duì)于任意正整數(shù)，.8 (2024 National) 已知幾何數(shù)列首項(xiàng)之和為，且。(1) 求的通式；(2) 求數(shù)列的通式。9 (2024 National) 設(shè)是數(shù)列首項(xiàng)之和，且。(1) 求的通式；(2) 設(shè)，求數(shù)列首項(xiàng)之和為10（

3. 2024北京)設(shè)給定集合一個(gè)有限數(shù)列，和一個(gè)序列。定義變換：給數(shù)列的項(xiàng)加1，得到一個(gè)數(shù)列；給數(shù)列的項(xiàng)加1，得到一個(gè)數(shù)列；重復(fù)上述操作，得到一個(gè)數(shù)列，記為 (1)給定一個(gè)數(shù)列和一個(gè)數(shù)列，寫(xiě)出； (2)是否存在一個(gè)數(shù)列使得，若有，寫(xiě)出滿足條件的數(shù)列；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明原因；?? (3)若數(shù)列的所有項(xiàng)都是正整數(shù)，且都是偶數(shù)，證明“存在一個(gè)數(shù)列使得 為常數(shù)數(shù)列”的必要充分條件是“”11 (2024天津)已知數(shù)列為等比數(shù)列，并且公比大于0，它的首項(xiàng)之和為，若 (1)求數(shù)列首項(xiàng)之和； (2)設(shè)，其中 為大于1的正整數(shù)()時(shí)，證明：； （）查找參考答案1D 【解析】可以按照等差數(shù)列的基本量來(lái)處理，即將題目的所有條件轉(zhuǎn)化為和，也可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)來(lái)處理，也可以用特殊值的方法處理。【解析】

4、方法一：利用等差數(shù)列的基本量，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式2024年高考數(shù)學(xué)答案，和。所以答案為：D。方法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì) 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，根據(jù)，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，所以。所以答案為：D。方法三：特殊值法 取等差數(shù)列的公差不是問(wèn)題，則，則。所以答案為：D2B 【解析】結(jié)合算術(shù)平均數(shù)的性質(zhì)，求出公差，即可得出數(shù)值。【解析】由，則，則等差數(shù)列的公差，所以。所以答案為：B.395 【解析】利用等差數(shù)列的通式，得到方程組，求解，再利用等差數(shù)列求和公式，即可得到答案。 【解析】由于該數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)題目要求，得到，并求解。故答案為：.4 【解析】利用兩類(lèi)數(shù)列散點(diǎn)圖的特點(diǎn)判斷正確性，利用反例判斷正確性，結(jié)合通式和反證法的特點(diǎn)判斷正確性。【解析】對(duì)于，

5.由于它們都是等差數(shù)列，它們的散點(diǎn)圖都分布在直線上，且兩條直線至多有一個(gè)公共點(diǎn)，所以 中至多有一個(gè)元素，所以 是正確的。對(duì)于 ，取 ，它們都是等差數(shù)列，但當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，有 ，此時(shí) 中有無(wú)窮個(gè)元素，所以 是錯(cuò)誤的。對(duì)于 ，假設(shè) ，如果 中至少有四個(gè)元素，則關(guān)于 的方程至少有4個(gè)不同的正解，如果 ，則由和 的散點(diǎn)圖可知關(guān)于 的方程至多有兩個(gè)不同的解，這是矛盾的； 若 ，考慮方程 的奇解個(gè)數(shù)和偶解個(gè)數(shù) ，當(dāng)有偶解時(shí)，該方程為 ，該方程至多有兩個(gè)偶解，有兩個(gè)偶解，否則，由于相反的單調(diào)性，該方程至多有一個(gè)偶解，當(dāng)有奇解時(shí)，該方程為 ，該方程至多有兩個(gè)奇解，有兩個(gè)奇解，即 ，否則，由于相反的單調(diào)性，該方程至多有一個(gè)奇解，因?yàn)?，不可能同時(shí)為真，所以不可能有4個(gè)不同的正解，所以

6.正確。對(duì)于 ，因?yàn)?是單調(diào)遞增序列貝語(yǔ)網(wǎng)校， 是遞減序列，前者的散點(diǎn)圖呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，后者的散點(diǎn)圖呈現(xiàn)下降趨勢(shì)。二者至多有一個(gè)交點(diǎn)，所以正確。因此，答案為：【重點(diǎn)】 重點(diǎn)思想：對(duì)于等差數(shù)列和等比數(shù)列性質(zhì)的討論，可以利用它們散點(diǎn)圖的特點(diǎn)來(lái)分析。注意，在討論二者性質(zhì)關(guān)系時(shí)，等比數(shù)列的共同比可能是負(fù)數(shù)，這時(shí)要注意合理變換。5【解析】 當(dāng) 時(shí)，我們假設(shè) ，那么，結(jié)合閉區(qū)間，可得 對(duì)任何的 始終成立，因此可求得 的取值范圍。 【解析】由題意，設(shè)，因?yàn)椋虼耍虼耍?dāng)，因此，此時(shí) 為閉區(qū)間，當(dāng)，設(shè)，如果，則，如果，則，如果，則，綜上所述， 為閉區(qū)間，等價(jià)于閉區(qū)間，且，所以對(duì)任意的 始終成立，所以 即，所以，所以對(duì)任意的 始終成立，因?yàn)椋援?dāng)，因此，即。因此，答案為：。【重點(diǎn)】重點(diǎn)思想：與幾何數(shù)列性質(zhì)相關(guān)的不等式

7.公式始終成立。可用基本數(shù)量法把常數(shù)轉(zhuǎn)化為與公比有關(guān)的不等式，必要時(shí)可用參數(shù)分離法處理。6 (1) (2)證明見(jiàn)分析 (3)證明見(jiàn)分析 【分析】 (1)直接基于可整除數(shù)列的定義； (2)基于可整除數(shù)列的定義，可驗(yàn)證結(jié)論； (3)證明至少有 使得原序列為可整除數(shù)列，再利用概率的定義。 【分析】 (1)首先設(shè)數(shù)列的公差為 ，則 由于一個(gè)序列在同時(shí)加上一個(gè)數(shù)或乘以一個(gè)非零數(shù)后是等差數(shù)列，所以當(dāng)且僅當(dāng)該序列是等差數(shù)列時(shí)，它是等差數(shù)列。因此，可以對(duì)序列進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，得到一個(gè)新的序列，然后進(jìn)行相應(yīng)的討論。 也就是說(shuō)，我們可以假設(shè)后面所有的討論都是基于這個(gè)假設(shè)的，回到原題，第一個(gè)問(wèn)題相當(dāng)于取出兩個(gè)數(shù)，讓剩下的四個(gè)數(shù)組成一個(gè)等差數(shù)列。

8.則剩下四個(gè)數(shù)只能是 ， 或 ， 或 。所以所有可能的都是 。（2）由于從數(shù)列中取出和之后，剩下的數(shù)可以分成以下兩部分，組合在一起，使得每組都是一個(gè)等差數(shù)列： ，組合在一起； ，組合在一起。（若 ，則忽略）所以該序列為可整除數(shù)列。（3）定義集合 ， 。下面證明，若下面兩個(gè)命題同時(shí)為真，則該序列必定是可整除數(shù)列： 命題一： 或 ； 命題二： 。我們分兩種情況證明這個(gè)結(jié)論。第一種情況：若 ， 且 。此時(shí)令 ， 。那么可以知 ，也就是如此。此時(shí)，由于從數(shù)列中取出和之后，剩下的數(shù)可以分成以下三部分，組合在一起，使得每組都是一個(gè)等差數(shù)列： ，組合在一起； ，組合在一起； ，組合在一起。 （若某部分的組數(shù)為，則忽略）所以此時(shí)該序列為可整除序列。第二種情況：若，且。此時(shí)令，。則可知，即，所以。由于，所以，因而，

9.這意味著。此時(shí)從數(shù)列中取出和之后，剩下的數(shù)可以分成如下四部分，將它們組合在一起，這樣每組都是一個(gè)等差數(shù)列：，組合在一起；，組合在一起；全部，其中，組合在一起；，組合在一起。（如果某一部分的組數(shù)為，則忽略）這里對(duì)和做一下解釋?zhuān)喊阎械拿恳唤M當(dāng)作一個(gè)橫行，排列成一個(gè)有行有列的數(shù)表，列為如下數(shù)：，。可見(jiàn)每列都是若干個(gè)連續(xù)的整數(shù)，它們組合起來(lái)之后，會(huì)取中五個(gè)集合中除了十個(gè)元素之外的所有數(shù)。這十個(gè)數(shù)中，除了已經(jīng)去掉的和之外，剩下的八個(gè)數(shù)恰好就是中出現(xiàn)的八個(gè)數(shù)。由此可見(jiàn)，我們給出的分組方法滿足要求，因此此時(shí)數(shù)列就是可整除數(shù)列。 至此，我們已經(jīng)證明了：是的，如果上述命題1和命題2同時(shí)成立，則該序列一定是可整除序列。接下來(lái)我們將考慮

10. 考慮這樣的 的個(gè)數(shù)。首先因?yàn)?，和 各有元素，所以滿足命題1的共有 個(gè)；又若 ，設(shè) ，則可設(shè) ，代入 ，得 。但這會(huì)引出 ，矛盾，故 。令 ，則 ，即 。所以可能性恰好為 ，相應(yīng)的有 ，總共 。所以在滿足命題1的 中，恰好有 不滿足命題2的 。這就給出了同時(shí)滿足命題1和命題2的 的個(gè)數(shù)。當(dāng)我們每次從中隨機(jī)選取兩個(gè)數(shù)和 時(shí)，總選取方法數(shù)等于 。又根據(jù)前面的結(jié)論，至少有 個(gè)使得序列可整除。所以序列可整除的概率必定滿足 。由此證明了結(jié)論。【重點(diǎn)】 重點(diǎn)：本題的關(guān)鍵在于對(duì)新定義的序列的理解，理解了定義，才能利用定義來(lái)驗(yàn)證或探究結(jié)論。 7 (1),(2) 參見(jiàn)解析式證明 (3) 參見(jiàn)解析式證明 【解析】 (1) 直接按題中的構(gòu)造方法計(jì)算

11、坐標(biāo)；（2）根據(jù)等比數(shù)列的定義，可驗(yàn)證結(jié)論；（3）思路一：利用平面向量點(diǎn)積和等比數(shù)列工具，證明的值是與和無(wú)關(guān)的常數(shù)。思路二：利用等差數(shù)列工具，證明的值是與和無(wú)關(guān)的常數(shù)。【解析】（1）由已知，故的方程為。當(dāng)，過(guò)和的直線的斜率為，并結(jié)合得。解或，所以直線和的交點(diǎn)不同于為，該點(diǎn)顯然在的左邊。因此，有。（2）由于過(guò)和的直線的斜率為，并結(jié)合得方程。展開(kāi)得，由于它已經(jīng)是直線和的公共點(diǎn)，所以方程必有一個(gè)根。因此，根據(jù)韋達(dá)定理，另一個(gè)根，相應(yīng)地。 所以直線和的交點(diǎn)不同于，注意到的橫坐標(biāo)也可以用韋達(dá)定理表示為，所以它一定在的左邊。所以。這給出了。所以。然后從，我們知道，所以序列是一個(gè)公比。

12. 是 的等比數(shù)列。（3）方法一：先證明一個(gè)結(jié)論：對(duì)于平面上的三點(diǎn)，若 ，則 。（如果它們?cè)谕恢本€上，則一致）證明： 。證明完畢，回到原題。由于上題已得 。則由 可知 ，所以數(shù)列是 的等比數(shù)列，其公比為 。故對(duì)于任意正整數(shù)， 。且有 ，利用前面已證明的結(jié)論，可得 。這說(shuō)明 的值是與 無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以 。方法二：由于上題已得 。則由 可知 ，所以數(shù)列是 的等比數(shù)列，其公比為 。故對(duì)于任意正整數(shù)， 。由此得 ，和 。將兩式相減，可得 。移動(dòng)項(xiàng)可得 。故 。且 ， 。所以 和 是平行的，可得 ，即 。 【重點(diǎn)】重點(diǎn) 重點(diǎn)：本題的關(guān)鍵是結(jié)合解析幾何與數(shù)列知識(shí)，需要綜合運(yùn)用多方面的知識(shí)才能解答。 8 (1) (2) 【解析】 (1) 利用進(jìn)位法，可得

13.求公比，再求首項(xiàng)求通項(xiàng)；（2）利用等比數(shù)列的求和公式求。【解析】（1）因?yàn)椋裕裕缘缺葦?shù)列的公比為，所以，所以，所以。（2）由等比數(shù)列的求和公式可得。9（1）（2）【解析】（1）利用減法求通項(xiàng)公式 (2)利用偏移減法求。【解析】（1）當(dāng)，解為當(dāng)，所以，即，且，所以，所以，數(shù)列以4項(xiàng)為首，為有公比的等比數(shù)列，所以。（2），所以因此，.10（1）（2）沒(méi)有一個(gè)滿足條件的，原因看解析【解析】（1）按定義寫(xiě)出來(lái)就行； （2）用反證法，先假設(shè)存在一個(gè)滿足條件的方程，再列出方程，進(jìn)一步說(shuō)明方程無(wú)解；（3）從充分性和必要性?xún)蓚€(gè)方面論證。【解析】（1）根據(jù)題目；（2）假設(shè)存在一個(gè)滿足條件的方程

14.條件，已知項(xiàng)之和為，項(xiàng)之和為，則，方程組無(wú)解，所以假設(shè)不成立，所以不存在滿足條件的；（3）設(shè)數(shù)列為，特設(shè)。必要性：若存在數(shù)列，則為常數(shù)數(shù)列。則2024年高考數(shù)學(xué)答案，故。根據(jù)定義，顯然，這里，。于是不斷利用這個(gè)公式，得，必要性得證。充分性：若。由已知，為偶數(shù)，且，所以也是偶數(shù)。我們假設(shè)，在所有通過(guò)合法數(shù)列變換能得到的可能數(shù)列中，求得最小的數(shù)列。上面已經(jīng)證明了，這里，。所以從可以得到。同時(shí)，由于它始終為偶數(shù)，和的奇偶性不變，所以和都是偶數(shù)。下面證明不存在這樣的數(shù)列。假設(shè)存在，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，我們假設(shè)，即。 情況 1：如果，那么從和都是偶數(shù)，我們知道。經(jīng)過(guò)對(duì)序列的四次連續(xù)變換，新的小于原來(lái)的，這與的最小值相矛盾；情況 2：如果

15.我們假設(shè)。情況2-1：若，那么經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次變換序列，新的至少小于原序列，這與的最小值相矛盾；情況2-2：若，那么經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次變換序列，新的至少小于原序列，這與的最小值相矛盾。由此可見(jiàn)，無(wú)論怎樣，都會(huì)引發(fā)矛盾，所以對(duì)于任何一個(gè)，都有。假設(shè)存在使得，那么為奇數(shù)，所以都是奇數(shù)，設(shè)是。那么此時(shí)對(duì)于任何一個(gè)，可以知道必定有。且和都是偶數(shù)，所以集合中四個(gè)元素之和為偶數(shù)，對(duì)序列進(jìn)行一次變換，則序列變?yōu)槌?shù)序列，新的等于零，小于原序列，這與的最小值相矛盾。綜上所述，只有可能，且，所以是常數(shù)序列，充分性得證。 【重點(diǎn)】 重點(diǎn)：本題第三題的關(guān)鍵在于對(duì)新定義的理解和對(duì)其本質(zhì)的剖析。11(1)(2) 證明見(jiàn)詳細(xì)講解；【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題目，結(jié)合等比數(shù)列通式，求出它，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式，分析求解；（2）根據(jù)題目，可用差分法分析證明；根據(jù)題目，結(jié)合等差數(shù)列求和公式，可得，再結(jié)合分裂項(xiàng)消元法分析求解。【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋纯梢缘玫剑匦屡帕校蠼馑颍ㄉ釛墸浴＃?）（i）由（1）可知，且，當(dāng)，則，我們可以知道，當(dāng)且僅當(dāng)，等式成立，所以；（ii）由（1）可知：，如果，則； 若，則，當(dāng)，可知其為等差數(shù)列，可得，所以，和，滿足上式，綜上所述：。【重點(diǎn)】重點(diǎn)：1.分析可知，當(dāng)，可知其為等差數(shù)列；2.根據(jù)等差數(shù)列求和分析，可得。